[강의리뷰] 피타고라스 vs. 아인슈타인 by 김민형 교수

피타고라스

피타고라스 "모든 것은 수(Number)이다!"

그러나 얼마 지나지 않아 수의 위기를 맞고...

무리수의 등장! 두둥! 얼마나 그 존재가 이해가 받아들이기 힘들었으면 이름 자체를 irrational!하다고 지었을지! (무리수는 영어로 irrational number이다)

 

진정한 수학은 기하학이라는 사고가 정착됨.

현실에서는 존재하지만 그 당시의 수로는 표현할 길이 없었던 무리수..(출처: Alex's adventures in Numberland by Alex Bellos)

아르키메데스가 부력 및 원 측정에 관한 법칙을 남긴 저서  "On floating Object"나 "On the Measurement of a Circle", 심지어 17c에 등장한 뉴턴의 (그 유명한) 프린키피아를 보면 지금의 방정식과 숫자로 가득한 수학 모습과는 다르게 기하학으로 증명을 해놓음.

19c가 되어야 실수체계에 대한 자신감이 생기게 되고 소위 수 체계(foundation)를 근본적으로 정립하려는 시도가 나타남.

Foundation of Real Numbers by Cauchy(1789-1857), Debekind(1831-1919)

(Cauchy) 무리수는 유리수의 집합으로 정의; 루트2 = {1, 1.4, 1.41, 1.414, ....}

(Debekind) 무리수는 pairs of subsets of rational numbers; 루트2 = (A,B) where A= {x in Q | x^2 <2}, B= {x in Q| x^2 >2}

와 같은 방식으로 분명한 객체로 정립하게 됨.

 

핵심은 어떤 (nice한) 성질을 가진 수 체계가 필요하다는 것을 먼저 인식하고 그 목적을 가지고 정의를 체계화 한 것. 발견이라기 보다는 발명을 했다고 할 수 있음. 

여기서 nice한 성질이란? 우리가 가지고 있는 실직선에 대한 직관에 부합해야 한다는 것

"Real Numbers"
A number that can be found on the number line.
The Real numbers were defined so as to mimic the collection of all points on a line.

 

그렇다면 실직선 직관을 바탕으로 실수 체계를 세운 셈이므로 결국 근본에는 기하가 자리잡고 있는 것 아닌가? 역시 진정한 수학은 기하에서 시작하는 것인가?(After all, the foundational theory of numbers seems to be motivated by geometry!)

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이에 대한 반론은?

▶자연수, 정수체계는 기하에 의존하는가? 하나, 둘, 셋... 이렇게 셈으로부터 온 것이 아닌가? 셈에는 기하는 필요없다.

▶▶또한 수학의 발전은 foundation과는 별개로 이루어졌다. 예컨대 대수는 아랍지역에서 융성했는데(by Al-Khwarizmi,현대 대수의 창시자) 이는 수의 위기 이후이며 실수체계에 대한 foundation이 성립하기 전이다.  이후로 foundation 없이도 방정식을 탐구하는 과정에서 심지어 복소수(imaginary number)도 이미 개발되어 사용하고 있었음.

▶▶▶ 현대수학에서는 오히려 foundations are inverted. 우리가 자연계에서 인식할 수 있는 것을 넘어선 고차원을 표현하기 위해 기하를 수로 표현하기 시작함. 더 나아가 양자적인 관점에서 우주안에 모든 것(thing)은 더하고 곱할 수 있음→ back to 피타고라스: 만물은 수!

그러나 아인슈타인은 이 관점을 싫어함.

"우주 "안"에 있는 모든 것은 수다. 그러나 우주 그 자체는 기하이다."

 

아직 결론이 없는 대결: 피타고라스 vs. 아인슈타인

그리고 로저 펜로즈의 통합적인 관점: the theory of the three worlds 에 빗대어서 김민형 교수는 기하와 대수의 관계도 이렇게 서로로부터 파생되는 얽혀있는 관계가 아닐까...  ...← geometry ← algebra ← geometry ← algebra ...

Platonic world: the world of ideas, Physical world: the real, physical world, Mental world: the world created by my subjective perception

 

출처: <기하와 대수> 김민형 교수, 고등과학원

https://www.youtube.com/watch?v=qxwsJQ66nI0